Dès son adolescence, Annie Swynnerton, née Robinson, vend des aquarelles aux voisin·e·s et ami·e·s de sa famille afin de gagner un peu d’argent. À partir de 1871, elle suit, comme deux de ses sœurs, les cours de William Jabez Muckley (1829-1905) à la Manchester School of Art. Elle obtient une bourse grâce à ses aquarelles et une médaille d’or pour sa peinture à l’huile. C’est dans cette école qu’elle rencontre la peintre Isabel Dacre (1844-1933), avec qui elle part se former à Rome de 1874 à 1876 et à l’académie Julian, à Paris, de 1877 à 1880. Elle est alors inspirée par le peintre naturaliste Jules Bastien-Lepage (1848-1884). Au cours de sa carrière, elle peint des portraits, des paysages et des figures allégoriques ou énigmatiques, faisant jouer la lumière et la couleur, marquée par les recherches impressionnistes, par les préraphaélites – George Frederic Watts (1817-1904) et Edward Burne-Jones (1833-1898) – et par un goût pour les nus sculpturaux.

En 1875, A. Robinson, I. Dacre et Emily et Julia Robinson sont élues parmi les neuf « Lady Exhibitors » de la Manchester Academy of Fine Arts, jusqu’alors fermée aux femmes. Elles ne sont cependant pas membres à part entière et n’ont pas le droit de suivre les cours d’après le modèle. Elles fondent en 1879 la Manchester Society of Women Painters, organisent des cours et des expositions en 1880, 1882 et 1883. En 1884, elles obtiennent gain de cause : la Manchester Academy of Fine Arts ouvre ses cours aux femmes, qui peuvent également devenir membres. I. Dacre et A. Robinson signent toutes les deux, en 1889, la Declaration in Favour of Women’s Suffrage, qui compte deux mille signataires dont cent artistes femmes. A. Swynnerton réalisera plus tard le portrait de la suffragiste Millicent Garrett Fawcett, présidente de la National Union of Woman’s Suffrage Societies.

E. Burne-Jones introduit la peintre à la Royal Academy. Elle y expose à partir de 1879 et, en 1880, présente le portrait d’I. Dacre, qui porte l’inscription « À mon amie ». Elle participe aux expositions de la Liverpool Autumn Exhibition à la Walker Art Gallery. En 1895, elle devient la seconde femme après Henrietta Rae (1859-1928) à être élue membre du Hanging Comittee : elle sélectionne les œuvres du salon annuel et conseille les acquisitions pour les collections permanentes du musée. Pour le Women’s Building de la World’s Columbian Exposition, elle envoie une œuvre représentant l’infirmière anglaise Florence Nightingale à l’hôpital de Scutari, où elle officiait pendant la guerre de Crimée.
En 1883, A. Robinson épouse le sculpteur Joseph Swynnerton (1848-1910) et vit pendant trente ans entre l’Angleterre et l’Italie. An Italian Mother and Child, peint en 1886, porte le souvenir de la Renaissance. Rome et la Toscane lui inspirent de nombreux paysages qu’elle réalise parfois en plein air, de même que certains portraits.

En 1922, soutenue par George Clausen (1852-1944) et John Singer Sargent (1856-1925), elle est la première femme à devenir membre associée de la Royal Academy of Arts depuis Mary Moser (1744-1819) et Angelica Kauffman (1741-1807). Une rétrospective est organisée en son honneur en 1923 à la Manchester Art Gallery. Elle meurt en 1933 et, sur sa tombe, dans le cimetière de l’église St Mary, sur l’île de Hayling, est inscrite l’épitaphe suivante : « I have known love and the light of the sun » (« J’ai connu l’amour et la lumière du soleil »). En 2018-2019, une exposition monographique est à nouveau organisée à la Manchester Art Gallery.